◍ 数学极限思想总结
求数列通项的方法总结
求数列的通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，分享了求数列通项的方法，一起来看看吧！
一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an+1=an+f（n）的递推数列通项公式的基本方法（f（n）可求前n项和）.
例1.已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。
解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则
an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1
=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1
=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1
=2+（n-1）+1
=（n-1）（n+1）+1
=n2
所以数列an的通项公式为an=n2。
例2：在数列{an}中，已知an+1= ，求该数列的通项公式.
备注：取倒数之后变成逐差法。
解：两边取倒数递推式化为：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…，
将以上n-1个式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an==
二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的递推数列通项公式的基本方法（数列g（n）可求前n项积）.
例3.已知数列{an}中a1=，an=an-1（n？叟2）求数列{an}的通项公式。
解：当n？叟2时，=，=，=，…=将这n-1个式子累乘，得到=，从而an=×=，当n=1时，==a1，所以an= 。
注：在运用累乘法时，还是要特别注意项数，计算时项数容易出错.
三、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差数列或等比数列的通项公式。
例4.已知Sn为数列an的前n项和，且Sn=2n+1，求数列an的通项公式.
解：当n=1时，a1=S1=2+1=3，当n？叟2时，an=Sn-Sn-1=（2n+1）-（2n-1+1）=2n-1.
而n=1时，21-1=1≠a1，∴an3（n=1）2n-1（n？叟2）。
四、构造新数列（待定系数法）： ①将递推公式an+1=qan+d（q，d为常数，q≠0，d≠0）通过（an+1+x）=q（an+x）与原递推公式恒等变成an+1+=q（an+）的方法叫构造新数列.
例5.在数列an中，a1=1，当n？叟2时，有an=3an-1+2，求an的通项公式。
解：设an+m=3（an-1+m），即有an=3an-1+2m，对比an=3an-1+2，得m=1，于是得an+1=3（an-1+1），数列an+1是以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列，所以有an=23n-1-1。
类似题型练习：已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）求数列an的.通项公式.
注：此种类型an+1=pan+g（n）（p为常数，且p≠0，p≠1）与上式的区别，其解法如下：将等式两边同除以pn+1，则=+，令bn=，则bn+1=bn=，这样此种数列求通项的问题可以转化为逐差法的问题，当然这种数列的通项公式也常用待定系数法解决，关键要根据g（n）选择适当的形式。
如：an的首项a1=1，且an+1=4an+2n，求an
五、数学归纳法（用不完全归纳法猜想，用数学归纳法证明）
例6.设数列an满足：a1=1，an+1an-2n2（an+1-an）+1=0求数列an的通项公式.
解：由an+1an-2n2（an+1-an）+1=0得an+1=，可算得a2=3，a3=5，a4=7，猜想an=2n-1，并用数学归纳法予以证明（以下略）
六、待定系数法
例7.已知数列an满足an+1=2an+3×5n，a1=6，求数列an的通项公式。
解：设an+1+x×5n+1=2（an+x×5n） ④
将an+1=2an+3×5n代入④式，得2an+3×5n+x×5n+1=2an+2x×5n，等式两边消去2an，得35n+x5n+1=2x5n，两边除以5n，得3+5x=2x，则x=-1，代入④式得an+1-5n+1=2（an-5n） ⑤
由a1-51=6-5=1≠0及⑤式得an-5n≠0，则=2，则数列{an-5n}是以a1-51=1为首项，以2为公比的等比数列，则an-5n=2n-1，故an=2n-1+5n。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+3×5n转化为an-1-5n+1=2（an-5n），从而可知数列{an-5n}是等比数列，进而求出数列{an-5n}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。
七、特征根法
形如递推公式为an+2=pan+1+qan（其中p，q均为常数）。对于由递推公式an+2=pan+1+qan，a1=α，a2=β，给出的数列an，方程x2-px-q=0，叫做数列an的特征方程。
若x1，x2是特征方程的两个根， 当x1≠x2时，数列an的通项为an=Axn-11+Bxn-12，其中A，B由a1=α，a2=β决定（即把a1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=Axn-11+Bxn-12，得到关于A、B的方程组）；
当x1=x2时，数列an的通项为an=（A+Bn）xn-11，其中A，B由1=α，a2=β决定（即把a1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=（A+Bn）xn-11，得到关于A、B的方程组）。
例8.数列an：3an+2-5an+1+2an=0（n？叟0，n∈N），a1=a，a2=b求an
解：特征方程是3x2-5x+2=0，∵x1=1，x2= ，∴an=Axn-11+Bxn-12=A+Bn-1。
又由a1=a，a2=b，于是a=A+Bb=A+B？圯A=3b-2aB=3（a-b）
故an=3b-2a+3（a-b）（）n-1
◍ 数学极限思想总结
（一）考试内容函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立。
数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及其无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限。
函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函
1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5．了解数列极限和函数极限（包括左极限和右极限）的概念。
6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
7．理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法，了解无穷大量
和无穷小量的关系。
8．理解函数连续性的概念（含左连续和右连续），会判断函数间断点的类型。
9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有
界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
我们在求解函数的解析式时，需要涉及到导数、积分、级数、微分方程等基本知识，所以求解函数解析式往往是一些知识的综合应用，需要逐步求解。函数的性质是考试的重点，比如奇偶性、周期性，在极限这一章体现的不明显，但是在定积分和二重积分的运算中如果能够准确的应用就能够化简运算，解决难题，所以属于技巧性的考察，在考研的试题中对技巧的考察属于重难点，所以考生应该提起重视。函数的有界性是证明题中经常用到的，但要注意闭区间上应用，如果是开区间，就要求解左端点处的右极限、右端点处的`左极限。极限是考研的重点，熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键，极限的运算法则必须遵从，两个极限都存在才可以进行极限的运算，如果有一个不存在就无法进行运算。无穷小以及无穷大量是考察的重点，首先要理解概念，弄清无穷大与无界的区别，无穷小与有界的区别，（前者能推出后者，后者不能推出前者。）对于无穷小的运算，大家最好能够熟练掌握等价无穷小代换，这样可以化简极限运算，但在运算中要注意等价无穷小代换的条件，一般是积式用。在这需要大家注意一下阶的概念。极限的保号性应用比较广泛，要领会如何“保号”得到不等式。在证明中还会用到最值定理，介值定理，零点定理。我们应用最值定理估值计算，应用介值定理证明存在零点。函数的连续性是考试的重点，可能考察函数、分段函数、绝对值函数、导函数的连续性，应用左右极限进行求解，在求解过程中经常会遇到一些特殊的函数比如指数函数，反三角函数，当变量趋近于不同的值时，极限可能不同。
◍ 数学极限思想总结
今天，是一个特别的日子；今天，是一个重要的日子；今天，是个高兴的日子；因为今天，我突破了自己的极限。
体育考试的第三项——400米跑，就在今天开始了。我们七班来到操场上，自由做热身活动，我压了压腿，跑了几步，为一会儿的400米做准备。
很快就轮到我们了。我站在起跑线上，腿有些发软，老师一声令下，我后脚尖一发力，冲了出去。我前面有不少人，陈子昊冲到了第一，其他人蠢蠢欲动，随时想拿下他，我不甘落后，用尽全部力气，才只跟上“大部队”的末端。没过一会儿，陈子昊慢了下来，张忆枫一举超越过去。我的速度也渐渐慢了下来。
在大概跑了200米后，我的体力耗光了，腿像灌了铅一样重，比之前任何一次都累，我想走几步，可我不敢走，我害怕后面的人超过去，就一直以慢速跑着。没跑几步，嗓子也开始火辣辣的疼，忽然间，我有种自己马上就要倒下的感觉，前面的同学已经到终点了，我不能倒下，后面还有一些同学呢！我这样想着，用尽最后的力气冲刺，得了第八名。
在我写名字时，我发现自己跑了1分41秒，比起原来的1分51秒，足足快了十秒。这十秒，对我来说意义非凡，我知道了我自己是可以超过1分51秒的，是可以有所进步的。我的信心又重新燃了起来。
在这一次考试，我突破了极限，创造了新的记录。
◍ 数学极限思想总结
很多3岁的孩子还步履蹒跚，但3岁的杰克·喀斯特雷森已经可以摇摇摆摆地从100多米高的岩石上爬下来了。
这里是距离悉尼65千米的蓝山山脉。古老的树木在怪石中林立，崖壁笔直地竖立。就在这里，杰克的爸爸詹姆斯·喀斯特雷森带着儿子深夜远足，在天亮时把他放在一块平坦的岩石上，然后告诉他可以向下爬了。
天气不错，小男孩穿戴着齐全的攀岩装备，系着结实的绳索，用手和脚拼命扣住岩石上的突起处。父亲把长发全部收在头盔中，他同样装备齐整，娴熟地告诉儿子下一步应该踏在哪里。父子俩配合默契。快到地面时，詹姆斯看到山泉在石洼中聚成一个小水潭，于是让儿子从1米多高的地方来了个跳水。
男孩早已适应了与父亲一起冒险。只有4个月大的时候，他就被装在襁褓中，绑在父亲的后背上，在熟睡中穿过潮湿的沼泽。深夜的沼泽之行格外安静，睡醒了的杰克也没有哭，静静地趴在父亲的背上直到天亮。
3年来，父亲和儿子的欢笑被悉数收入镜头，镜头后是同样痴迷极限运动的母亲，她从来不会为儿子身上的几块瘀青大呼小叫，反而对父子俩的冒险习以为常。她对极限运动的热爱从未中断，只有怀孕才让她消停了几个月。
心理医生说：“我觉得詹姆斯和妻子教坏了其他的年轻父母。孩子的大脑远未发育到这种程度，他们甚至连过马路时都没法判断车辆的远近，更别提攀岩时复杂的计算了。”可詹姆斯情愿让儿子在小时候多冒一点险，也不想让他一直生活在安逸的环境里，他说：“我不想把他关在屋子里，等他15岁的时候再一把把他推出门，让他去‘享受生活’，那才是真正的冒险。”
专家说的都是普通人的后代，至于冒险家，似乎应该有另一番生活。詹姆斯倒也没错，他在中学时就收到了澳洲潜水协会的工作邀请，19岁时和另一个伙伴驾着一艘独木舟，用49天穿越了澳洲最长的河流——墨累河。
22岁时，从商学院毕业的詹姆斯在德勤公司找到了一份分析师的工作。这对于一个商科生来说，是再稳妥不过的选择。尽管在德勤公司工作了4年，詹姆斯最主要的乐趣却是登山和远足，而这些和他的工作毫无关系。詹姆斯将手里仅有的积蓄换成两艘独木舟，在里面装满了食物和淡水，带着一个伙伴，从悉尼出发了。就在一年之前的同一条航线上，另一个比他年长的探险家在风雨中翻船，最终在太平洋失联。
从澳大利亚到新西兰的航程比想象中要长，哪怕做了几个月的研究，两人还是被迎面而来的大风和洋流所阻挡。60天20小时之后两人才知道，GPS画出的路线显示，他们经常在海面上兜圈子，最终将1372千米的预算路程整整延长了1200千米。在大洋中幸存的两人创造了独木舟渡海的世界纪录，不过当时在小舟之上，困乏的两人只能一路逆风向前划。
詹姆斯横穿过美国的奥克弗诺基沼泽，将吊床系在树干上，睡在空中以躲避黑暗中出没的蛇和熊；2012年从南极大陆的边缘走到南极点时，他和搭档两人加起来痩了55千克。
在詹姆斯这里，人生经验几乎等同于求生经验，这也是他想要交给儿子的东西——现在3岁的杰克还不明白这一点，但是当他穿着救生衣从1米高的岩石上跃进水潭之时，脸上确实满是享受的笑容。
◍ 数学极限思想总结
《数学分析》教案--第二章 数列极限
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第二章 数列极限
教学目的：
1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；
2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义 证明数列极限等有关命题。要求学生：逐步建立起数列极限的 数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的 并能运用
概念.深刻理解定义证明有关命题，语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；
教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的 用.教学时数：16学时
定义及其应
§ 1 数列极限的定义
教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。
教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的N定义及其应用。教学时数：4学时
一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入——
二、讲授新课：
（一）数列：
1.数列定义——整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义.-《数学分析》教案--第二章 数列极限
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2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.（二）数列极限: 以 为例.定义(的 “
”定义)定义(数列 收敛的“
”定义)注：1.关于 ：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵;2.关于：非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.（三）用定义验证数列极限： 讲清思路与方法.例1
例2
例3
例4
证
注意到对任何正整数
时有
就有
◍ 数学极限思想总结
数学思想方法是教学的关键，在课堂上充分暴露教学方法的思维过程，让学生参与教学实践活动，充分发挥他们的主体作用。教学过程中，要使用学生身边的教具三角板和应用折纸以及课本后的网格，让他们以一种积极的状态，主动参与到数学教学过程中来，在动脑、动手、动口的过程中，让学生根据自己的体验，逐步领悟数学思想方法。
◍ 数学极限思想总结
作者：罗燕李昌勇宁锐
**：《数学教学通讯·初中版》2017年第01期
[摘要] 本文以“探索直线平行的条件”一课的课例为载体，通过对课堂中两个主要的活动的设计和教学过程进行分析，深入挖掘其中所包含的数学思想，并分析了本节课是如何在数学活动中体现数学思想的，供一线老师参考.
[关键词] 数学思想；数学活动；平行条件
《义务教育数学课程标准（2011版）》（后简称为《标准》）把数学基本思想、基本活动经验与数学知识和技能列为同等地位的目标，并且明确指出“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用”，突出了数学思想的教育价值. 史宁中教授在《数学思想概论（第一辑）》中写道：“数学思想是指数学发展所依赖、所依靠的思想”“至今为止，数学发展所依赖的思想在本质上有三个：
抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的”；而针对最近的热点问题“学生核心素养的培养”，梁秋莲老师以“帮助学生获得数学思想”为抓手提出了落实核心素养的策略，可见数学思想是数学教育极其重要的组成部分.
如何在数学教学实践中实现数学思想方法的教学？为此，笔者与一线老师以教学课例为载体合作、教研、**了这一主题. 本文以史宁中教授提出的三种核心数学思想方法为基本框架，以北师大版七年级下册“探索直线平行的条件”一课的课例为载体，**如何在数学活动中渗透数学思想方法.
从经验活动中抽象出几何图形
【活动任务】 活动1：如图1，装修工人正在向墙上钉木条，有一根木条b与墙壁边缘垂直，工人师傅现在要钉一根与b平行的木条a. 你能想到哪些办法？
学生活动：让学生分组讨论，然后让学生介绍实践，为以后的学习积累经验**
【教学片断】？摇？摇师：这是一个实际问题。学生可以通过使用图中的任何可用条件来解决这个问题
◍ 数学极限思想总结
极限爬行活动是一项充满刺激与挑战的户外运动，它要求参与者在恶劣的环境中进行攀爬、穿越和克服各种障碍，以测试他们的体能、意志力和团队合作能力。在这次活动中，我有幸参与其中，并带给您一个详细和生动的总结。
这次极限爬行活动是在一个迷人而又严峻的山区举行的。我们的目标是通过爬越陡峭的山脉、穿越厚密的森林和艰苦的沼泽地，到达目的地。整个活动历时三天，期间我们不仅要面对各种险阻，还要忍受酷热和疲劳，而且还需要与队友紧密协作以应对各种意想不到的情况。
第一天，我们开始爬越险峻的山峰。山体陡峭，泥土湿滑，让人难以攀爬。我们穿戴着专业的登山装备并紧跟引导者一起艰难前行。每一步都需要我们提醒自己保持稳定和平衡，同时还得小心避开岩石和倾斜的地形。这个阶段对我们的体能、耐力和勇气提出了极高的要求。然而，我们不断挑战自我，相互鼓励，最终成功地到达了山顶。
第二天，我们进入了茂密的森林。这里的环境极其复杂，充满了密集的树林和野生动物。我们必须小心翼翼地前进，避开树枝和灌木，以免受伤。同时，还要时刻警惕有可能潜藏在树林里的危险，比如毒蛇和蜘蛛。这个时候，真正考验我们的是团队合作能力，我们要时刻保持沟通和配合，确保每个人都能顺利通过这片森林。
第三天，我们来到了广阔的沼泽地。这里的地形非常湿滑，充斥着淤泥和污水。我们穿着防滑鞋并带上了工具，以便更好地应对这个挑战。每一步都是一个考验，我们必须集中注意力，保持平衡，不断调整姿势以避免陷入泥潭。这个时候，我们的耐力和毅力被推向了极限，但我们依然坚持着，最终成功地走出了这片沼泽地。
通过这次极限爬行活动，我学到了很多宝贵的经验和教训。首先，坚持和毅力是成功的关键。在面对困难和逆境的时候，我们不能轻易放弃，而是要积极寻找解决办法并持之以恒。其次，团队合作和沟通至关重要。在一个极限环境下，一个人的力量是微不足道的，只有团结合作才能取得胜利。最后，对待挑战要保持乐观和积极的心态。在活动中，我们经历了许多困难和痛苦，但我们相互鼓励，保持信心，最终成功地完成了任务。
总结而言，这次极限爬行活动是一次具有意义和价值的经历。通过挑战自我、锻炼意志，我提高了自己的体能和心理素质，也增强了团队意识和合作意识。我相信这次活动对我未来的成长和发展将产生积极的影响。我期待着未来能继续参与这样的活动，挑战自己，创造更多的奇迹。
◍ 数学极限思想总结
本人全年任教两个班数学并一直担任班主任工作。现将本人任现职以来的主要工作工作总结如下：
一、政治思想素质
平时积极参加学校组织的各类集体活动，认真学习学校下达的上级文件，关心国内外大事，注重政治理论的学习。配合组里搞好教研活动，每周按时参加升旗仪式。服从安排，保持与决策层的高度一致性。
二、业务能力
1、教学能力
作为一名教师，我始终把“教书育人、为人师表”作为已任，把成为优秀的教师作为自己的目标，孜孜追求。任现职以来，我要求自己不断增强业务素养，深入钻研教材，认真进行教学研究。教学中，我坚决贯彻因材施教的原则，始终把学生的“学”放在教学的核心位置上。在教学方法的设计上，突出落实激发学生的主体意识，激发学生的求知欲望。每一节课都要设计学生参与的情境，来引导和训练学生学习。
2、班主任工作
教书育人是教师的天职。在班主任工作中，我每天早来晚走、周六周日也难得休息，每接一个班，都从整顿班风入手，培养学生的集体荣誉感，与学生建立起“师生+朋友”的关系，在日常管理上坚持 “三到位”(课前两分钟到位、课间操到位、自习课到位)，使班级工作顺利开展。
3、学生竞赛
辅导多名学生参加数学竞赛并获奖。
4、继续教育
__年以来多次参加各类机构的培训，并获得证书。
三、今后的设想：
在今后的工作中，我将采取各种方式方法，寻找有效途径，提高教学效率，努力使自己成为一名优秀的教师。不管能否晋级，今后我仍将一如既往，以最大的热情、全部的精力投身到教育事业中去，无愧于教师的称号。
以上是本人任现职以来思想、工作方面的总结，虽然取得了一定的工作成效，但我还要加倍努力，当然其中也许难免有些不足，我一定会在今后的工作中尽力克服，并不断地完善自我，努力使自己成为一名优秀的人民教师。
◍ 数学极限思想总结
分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的.对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的;
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
2、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
3、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
抽象函数：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数;
一般形式为y=f(x)，或许还附有定义域、值域等，如：y=f(x)，(x>0，y>0)。
◍ 数学极限思想总结
今天是六一儿童节，我高高兴兴的和爸爸、妈妈、姥姥去了欧亚卖场。哪里人山人海，热闹极了。虽然外面的天气很炎热，但是我的心里却是凉爽的。我们走进欢乐城堡，那里的游戏真是目不暇接。放眼望去，很多都是幼儿玩的，只有海盗船、秋千、太空环等等是我这么大的孩子玩的。妈妈让我选了两样我喜欢玩儿的游戏，因为海盗船太刺激了，我不敢玩儿，所以我选了秋千和太空环。
我先玩的是秋千，当游戏开始时，我有些忐忑不安，我紧紧地闭上了双眼，手紧紧地握住了两边的绳索，我小心翼翼的睁开双眼，画面在不停的转动，像一个转盘一样。到游戏结束时，我想挑战一下外圈，所以我让妈妈又给我买了一张票，我坐到椅子上，心都快要提到嗓子眼上了，但是我不想让爸爸妈妈看到我懦弱的样子，我就假装什么事情都没有，然后把手松开，外圈转起来的幅度比内圈的要大得多，我感觉就像被抛出去了一样，整个身体都飞起来了，像一只苍鹰盘旋在天空中一样，眼前的一切都变得模模糊糊，只能隐隐约约地看到五颜六色的圆弧在不停的旋转。这是我从来没有见过的画面和体验过的感受，一切都是那么美丽；那么兴奋；那么与众不同。
我下了秋千，继续往前走，有一位漂亮的阿姨走过来对我说：“小朋友，你玩不玩太空环呀”？我看了看正在玩太空环的人，他们在上下翻飞、左右摇摆、前仰后合，我有一些害怕了，可爸爸、妈妈还是鼓励我，那位阿姨又对我说：“我可以把太空环调慢点”，我鼓起勇气，坐到了太空环上，把眼睛一闭，游戏开始了，太空环不停的转动，我感觉到自己想宇航员一样飘了起来，我慢慢的感觉这个游戏并没有我想象中的那么恐惧，我大胆的睁开了双眼，看到了爸爸妈妈为我竖起了大拇指和对我鼓舞的眼神，他们给我了勇气；给我了坚强；给我了力量。
今天玩得这两个游戏使我一次次的超越自己的心理极限，使我懂得了人要学会勇敢的去尝试，只有尝试才会知道这些游戏到底可不可怕；只有尝试才会让你的胆子越来越大；只有尝试才会让我们爱上这些好玩的游戏。所以我们每个人都应该学会勇敢的去面对各种困难，不要被困难吓倒。做一个心理强大的人；做一个敢于尝试的人；做一个在困难面前永不服输的人。
◍ 数学极限思想总结
解数学题，需要正确的思路。对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得结论。但是，如果直接从正面不易找到解题思路时，则可改变思维的方向，即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考，从而使问题得到解决。
例：某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：每答对一题得4分，不答题得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分。问：此次测验至多有多少种不同的分数?
【分析与解】
最高的得分为50分，最低的得分为0分。但并不是从0分到50分都能得到。从正面考虑计算量较大，故我们从反面考虑，先计算有多少种分数达不到，然后排除达不到的分数就可以了。最高的得分为50分，最低的得分为0分。
列表分析：
不答相对与答对少的4分，答错相对与答对少得5分，这样的话不答和答错之间少1分，所以比38分少的分数的情况都存在。所以，在从0分到50分这51个分数中，有49，48，47，44，43，39这6种分数是不能达到的，故此次测验不同的分数至多有51-6=45(种)。
七、从整体考虑问题
有时候具体的去分析局部的细节会感到却少条件，无从下手，这时候如果我们站的高一点，看的远一点，从整体出发去考虑问题，往往会起到意想不到的效果。
例：现有一个34的长方形，现在任意横着切2刀，竖着切4刀，把长方形分成了15个小长方形，求这15个小长方形的周长之和是多少?
【分析与解】
很明显，这15个小长方形中任何一个的周长我们都求不出，如果从局部出发，是不可能求出来的。因此我们要从整体出发去考虑。
观察发现，每横着切一刀，那么长方形就增加了两条长为4的边，即周长和增加8，而每竖着切一刀，那么长方形就增加了两条长度为3的边，即周长和增加6。因为长方形的周长为2(3+4)=14，所以横着切2刀，竖着切4刀后周长和为：14+28+46=54。
八、等量代换法
小朋友们一定都知道曹冲(曹操的小儿子)称大象的故事吧。曹冲用一条船，让大象先上船，看船被河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。把大象赶上岸，再把这条船装上石块，当船被水面淹没到记号的位置时，就可以判断：船上的石块共有多重，大象就有多重。
为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢?因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样，只有当大象与一船石头一样重(重量相等)时，才会淹没得一样深。
曹冲称象不是瞎称的，而是运用了等量代换的思考方法：两个完全相等的量，可以互相代换。解数学题，经常会用到这种思考方法。
例：师生共52人外出春游，到达后，班主任要给每人买一瓶矿泉水，给了班长买矿泉水的钱。班长到商店后，发现商店正在进行促销活动，规定每5个空瓶可换1瓶矿泉水。班长只要买瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶。
【分析】因为5个空瓶=1瓶水+1个空瓶;所以4个空瓶=1瓶水;
所以每买4瓶水能够5个人喝;52/5=10......2，班长只要买10X4+2=42瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶。
九、枚举法
其特点是有条理，不易重复或遗漏，使人一目了然。适用于所求的对象为有限个。
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例：从1到100的自然数中，每次取出两个数，要使它们的和大于100，共有多少种取法?
【分析与解】
在1到100中，每次取出两个数，使它们和大于100，取法肯定繁多。但其中一定有一个较小的数，因此我们可以采用例举类推法，通过枚举较小数的所有可能性来例举分析，类推解答。
较小的数是1，只有一种取法，即[1，100]。
较小的数是2，有两种取法，即[2，99]、[2，100]。
较小的数是3，有三种取法，即[3，98]、[3，99]、[3，100]。
较小的数是50，有50种取法，即[50，51]、[50，52][50，100]。
较小的数是51，有49种取法，即[51，52]、[51，53][51，100]。
较小的数是99的只有一种取法，即[99，100]。
因此一共有：1+2+3++50+49++2+1=502=2500(种)。
综上所述可以看出，此类方法适合于数目、种类不很繁杂的题;分析时应尽量做到分类全面、不重不漏。
十、奇偶性分析法
(1)加减法的奇偶性
1、符号无用
2、偶数无用
3、奇数个奇数是奇数
(2)乘法的奇偶性
遇偶得偶
例：桌子上有5个杯子，开口全部朝上，每次同时翻其中的4个，请问是否可以经过有限次翻动使得5个杯子都开口向下。
【分析与解】
一个杯子从开口向上变为开口向下，要翻动奇数次，5个杯子翻动的次数和为5个奇数的和，因此是奇数;从总体考虑，每次翻动4个，因此总次数是4的倍数，必然是偶数。由于奇数不等于偶数，所以不可能经过有限次翻动使得5个杯子，使得所有5个杯子都开口向下。
◍ 数学极限思想总结
一、教学目标
1.知识与能力目标
①使学生理解数列极限的概念和描述性定义。
②使学生会判断一些简单数列的极限，了解数列极限的“e-N"定义，能利用逐步分析的方法证明一些数列的极限。
③通过观察运动和变化的过程，归纳总结数列与其极限的特定关系，提高学生的数学概括能力和抽象思维能力。
2.过程与方法目标
培养学生的极限的思想方法和独立学习的能力。
3.情感、态度、价值观目标
使学生初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。
二、教学重点和难点
教学重点：数列极限的概念和定义。
教学难点：数列极限的“ε―N”定义的理解。
三、教学对象分析
这节课是数列极限的第一节课，足学生学习极限的入门课，对于学生来说是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡阶段，在《立体几何》内容求球的表面积和体积时对极限思想已有接触，而学生在以往的数学学习中主要接触的是关于“有限”的问题，很少涉及“无限”的问题。极限这一抽象概念能够使他们做基于直观的理解，并引导他们作出描述性定义“当n无限增大时，数列｛an｝中的项an无限趋近于常数A，也就是an与A的差的绝对值无限趋近于0”，并能用这个定义判断一些简单数列的极限。但要使他们在一节课内掌握“ε-N”语言求极限要求过高。因此不宜讲得太难，能够通过具体的几个例子，归纳研究一些简单的数列的极限。使学生理解极限的基本概念，认识什么叫做数列的极限以及数列极限的定义即可。
四、教学策略及教法设计
本课是采用启发式讲授教学法，通过多媒体课件演示及学生讨论的方法进行教学。通过学生比较熟悉的一个实际问题入手，引起学生的注意，激发学生的学习兴趣。然后通过具体的两个比较简单的数列，运用多媒体课件演示向学生展示了数列中的各项随着项数的增大，无限地趋向于某个常数的过程，让学生在观察的基础上讨论总结出这两个数列的特征，从而得出数列极限的一个描述性定义。再在教师的引导下分析数列极限的各种不同情况。从而对数列极限有了直观上的认识，接着让学生根据数列中各项的情况判断一些简单的数列的极限。从而达到深化定义的效果。最后进行练习巩固，通过这样的一个完整的教学过程，由观察到分析、由定量到定性，由直观到抽象，并借助于多媒体课件的演示，使得学生逐步地了解极限这个新的概念，为下节课的极限的运算及应用做准备，为以后学习高等数学知识打下基础。在整个教学过程中注意突出重点，突破难点，达到教学目标的要求。
五、教学过程
1.创设情境
课件展示创设情境动画。
今天我们将要学习一个很重要的新的知识。
情境
1、我国古代数学家刘徽于公元263年创立“割圆术”，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。
情境
2、我国古代哲学家庄周所著的《庄子?天下篇》引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭。也就是说拿一根木棒，将它切成一半，拿其中一半来再切成一半，得到四分之一，再切成一半，就得到了八分之„„?如此下去，无限次地切，每次都切一半，问是否会切完?
大家都知道，这是不可能切完的，但是每次切了以后，木棒都比原来的少了一半，也就是说木棒的长度越来越短，但永远不会变成零。从而引出极限的概念。
2.定义探究
展示定义探索(一)动画演示。
问题1：请观察以下无穷数列，当n无限增大时，a，I的变化趋势有什么特点?
(1)1/2,2/3,3/4,„n/n-1(2)0.9，0.99，0.999，0.9999，1-1/10n„„
问题2：观察课件演示，请分析以上两个数列随项数n的增大项有那些特点?
师生一起归纳总结出以下结论：数列(1)项数n无限增大时，项无限趋近于1；数列(2)项数n无限增大时，项无限趋近于1。
那么就把1叫数列(1)的极限，1叫数列(2)的极限。这两个数列只是形式不同，它们都是随项数n的无限增大，项无限趋近于某一确定常数，这个常数叫做这个数列的极限。
那么，什么叫数列的极限呢?对于无穷数列an，如果当n无限增大时，an无限趋向于某一个常数A，则称A是数列an的极限。
提出问题3：怎样用数学语言来定量描述呢?怎样用数学语言来描述上述数列的变化趋势?
展示定义探索(二)动画演示，师生共同总结发现在数轴上两点间距离越小，项与1越趋近，因此可以借助两点间距离无限小的方式来描述项无限趋近常数。无论预先指定多么小的正数e，如取e=O-1，总能在数列中找到一项am，使得an项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε，若取￡=0。0001，则第6项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε，即1是数列(1)的极限。最后，师生共同总结出数列的极限定义中应包含哪量(用这些量来描述数列1的极限)。
数列的极限为：对于任意的ε>0，如果总存在自然数N，当n>N时，不等式｜an-A｜n的极限。
定义探索动画(一)：
课件可以实现任意输入一个n值，可以计算出相应的数列第n项的值，并且动画演示数列的变化过程。如图1所示是课件运行时的一个画面。
定义探索动画(二)课件可以实现任意输入一个n值，可以计算出相应的数列第n项的值和I an一1I的值，并且动画演示出第an项和1之间的距离。如图2所示是课件运行时的一个画面。
3.知识应用
这里举了3道例题，与学生一块思考，一起分析作答。
例1.已知数列：
1,-1/2,1/3,-1/4,1/5„„,(-1)n+11/n，„„
(1)计算|an-0|(2)第几项后面的所有项与0的差的绝对值都小于0.017都小于任意指定的正数。
(3)确定这个数列的极限。
例2.已知数列：
已知数列：3/2,9/4,15/8„„，2+(-1/2)n，„„。
猜测这个数列有无极限，如果有，应该是什么数?并求出从第几项开始，各项与这个极限的差都小于0.1，从第几项开始，各项与这个极限的差都小于0.017
例3.求常数数列一7，一7，一7，一7，„„的极限。
5.知识小结
这节课我们研究了数列极限的概念，对数列极限有了初步的认识。数列极限研究的是无限变化的趋势，而通过对数列极限定义的探讨，我们看到这一过程又是通过有限来把握的，有限与无限、近似与精确、量变与质变之间的辩证关系在这里得到了充分的体现。
课后练习：
(1)判断下列数列是否有极限，如果有的话请求出它的极限值。①an=4n+l/n；②an=4-(1/3)m；③an=(-1)n/3n；④aan=-2；⑤an=n；⑥an=(-1)n。
(2)课本练习1，2。
6.探究性问题
设计研究性学习的思考题。
提出问题：
芝诺悖论：阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟，因为当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经走在前面一小段路了，阿基里斯又必须赶过这一小段路，而乌龟又向前走了。这样，阿基里斯可无限接近它，但不能追到它。假定阿基里斯跑步的速度是乌龟速度的10倍，阿基里斯与乌龟赛跑的路程是1公里。如果让乌龟先跑0.1公里，当阿基里斯追到O.1公里的地方，乌龟又向前跑了0.01公里。当阿基里斯追到0.01公里的地方，乌龟又向前跑了0.001公里„„这样一直追下去，阿基里斯能追上乌龟吗?
这里是研究性学习内容，以学生感兴趣的悖论作为课后作业，巩固本节所学内容，进一步提高了学生学习数列的极限的兴趣。同时也为学生创设了课下交流与讨论的情境，逐步培养学生相互合作、交流和讨论的习惯，使学生感受到了数学来源于生活，又服务于生活的实质，逐步养成用数学的知识去解决生活中遇到的实际问题的习惯。
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